Кажется, проблема возникает только у пользователей IE11 (Win), для других ОС и браузеров HTTPS-соединение работает нормально.
Какие-либо предложения?
Сервер: nginx, SNI включен - несколько доменов на одном ip (указаны в поле сертификата SANS).
РЕШЕНИЕ: IE брал второй (устаревший) сертификат из другого домена, который был устаревшим. Поиск по телу сертификата на всех серверах помог нам его найти.
Убедитесь, что устаревший сертификат не установлен на сервере и не представлен каким-либо другим образом. Похоже, это может быть проблемой.