Я вхожу в удаленный Linux-сервер, используя xlaunch с участием gnome-session --display=$DISPLAY. Если я запускаю фоновый процесс, есть ли способ, чтобы он оставался активным (продолжал работать), когда я выхожу из Xming, чтобы он завершился или все еще отображался, когда я снова вхожу в систему?
Нет; когда ваш X-сеанс завершается, все программы, использующие его, теряют связь с X-сервером, что обычно приводит к их завершению. Можно организовать программы, для которых не требуется ни X11, ни терминал, чтобы быть постоянными, но если они нуждаются в каком-либо из них, они не смогут пережить потерю доступа к дисплею.
Если вам нужен постоянный X-сеанс, взгляните на VNC. Я использовал X11VNC для этого, но есть и другие способы настроить постоянные сеансы.