Я пытался проверить состояние сети, следуя командам.
sudo systemctl status network
Однако система сообщает, что команда systemctl не найдена.
Как сказал MadHatter в комментарии к вашему вопросу, RHEL 6 не использует SystemD (из которых systemctl является частью), а лучше использовать сценарии инициализации SYSV.
По словам TessellatingHeckler, ближайшим эквивалентом будет service network status команда, но это не совсем то же самое.