На самом деле у меня два вопроса:
1) Отметка времени в файле Apache error.log - время клиента или сервера?
2) Если я подключаюсь к серверу через командную строку и выполняю команду HEAD / HTTP/1.0, что это client-date производятся среди прочего представляют?
Apache error.log показывает время сервера, когда произошла ошибка.
Apache access.log показывает время сервера, когда ответ был полностью сформирован.
Если ваше веб-приложение создает client-date заголовок ответа, содержимое полностью зависит от этого приложения. Apache это не касается.