Кто-нибудь знает, есть ли у Azure такие же возможности, как у AWS, для преобразования имени хоста внешнего DNS в общедоступный IP-адрес экземпляра за пределами сети экземпляра и в частный IP-адрес экземпляра из сети экземпляра?
Используя функцию виртуальной сети Azure, да, вы можете. Взгляни на документация.
Разрешение имен между виртуальными машинами, расположенными в одной облачной службе
Разрешение имен Windows Azure (внутреннее)
...
Разрешение имен между компьютерами в Интернете и общедоступными конечными точками
Разрешение имен Windows Azure (внешнее)